Matematica

Crediti: 12 cfu

Docente: Leonardo Colzani, Marina Di Natale

Modalità dell’esame: scritto e orale

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Prerequisiti

L' algebra, la geometria analitica e la trigonometria dei programmi delle
scuole superiori sono prerequisiti fondamentali. In particolare bisogna sapere cosa sono le
equazioni e disequazioni, l'equazione della retta, le proprietà delle potenze, gli
esponenziali e logaritmi, il seno e coseno e la tangente, i grafici di tutte queste funzioni,
etc. La logica elementare è un prerequisito ancor più fondamentale. In particolare bisogna
saper usare un linguaggio non ambiguo ed aver ben chiaro cosa sono ipotesi, tesi,
dimostrazione. Le definizioni ed i teoremi devono essere enunciati con precisione ed
illustrati con esempi e controesempi.

Programma

Calcolo differenziale in una variabile. Funzioni: dominio, immagine, funzioni composte
ed inverse. Esempi: Curve e superfici. Simmetrie, periodicità, grafici. Funzioni elementari:
Potenze, esponenziale e logaritmo, seno, coseno, tangente e arcotangente. Definizione di
limite. Calcolo di limiti. Forme di indecisione. Due numeri speciali: e, π. Funzioni continue.
Il teorema degli zeri ed il metodo di bisezione per il calcolo approssimato di uno zero.
Esistenza di massimi e minimi. Rapporto incrementale e derivata, equazione della retta
tangente al grafico di una funzione. Derivata seconda: concavità e convessità. Regole di
derivazione: Somma e differenza, prodotto e quoziente, derivata della funzione composta
ed inversa. Derivate di funzioni elementari: Potenze, esponenziale e logaritmo, seno,
coseno, tangente e arcotangente. I teoremi del calcolo differenziale: Fermat, Rolle,
Lagrange, de l'Hopital. Sudio di funzioni: Dominio e immagine, simmetrie, limiti agli estremi
del dominio, massimi e minimi, concavità e convessità, asintoti, grafico.
Calcolo integrale in una variabile. Integrale di Riemann: Definizione e significato
geometrico. Calcolo approssimato di un integrale: Il metodo dei rettangoli e dei trapezi.
Proprietà dell'integrale definito. Il teorema della media. Il teorema fondamentale del calcolo
integrale. Funzioni primitive e integrale indefinito. Metodi di integrazione: Scomposizione,
per parti, per sostituzione. La formula di Taylor con il resto integrale. Lo sviluppo in serie di
potenze delle funzioni elementari.
Calcolo differenziale ed integrale in più variabili. Derivate direzionali e parziali.
Gradiente, direzione di massima pendenza. Equazione del piano tangente ad una
superficie. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor. Segno di un polinomio di
secondo grado. Massimi e minimi liberi e vincolati. Integrali multipli. Riduzione di un
integrale multiplo ad integrali semplici successivi. Integrazione in coordinate polari. Calcolo
di aree, volumi, baricentri. Area del cerchio, volume della sfera.
Equazioni differenziali. Esempi dalla fisica: F = ma, velocità e accelerazione. Equazioni
differenziali del primo ordine e problema di Cauchy. Significato geometrico: Campo di
direzioni. Soluzioni approssimate di equazioni differenziali: Poligonali di Eulero. Sviluppo in
serie di potenze della soluzione di una equazione differenziale. Equazioni a variabili
separabili e lineari. Equazioni del secondo ordine lineari con coefficienti costanti. L'oscillatore armonico.
Algebra lineare. Spazi vettoriali. Esempi: Vettori del piano e dello spazio, regola del
parallelogramma, prodotto scalare. Combinazione lineare di vettori, vettori indipendenti.
Base e dimensione di uno spazio vettoriale. Algebra delle matrici. Sistemi di equazioni
lineari.

Testi consigliati

Verranno indicato all'inizio del corso.